Lista de exercícios do ensino médio para impressão
Com os dados da figura, calcular a medida do arco α em graus.
ângulo excêntrico exterior 80 graus

 



resposta:

Todo ângulo inscrito numa circunferência é igual à metade do ângulo central conrrespondente.

esqueminha do ângulo central
esqueminha do ângulo inscrito
ângulo excêntrico exterior com resposta
O ângulo central é a mesma medida em graus do arco de circunferência que ele determina.
Na figura, O ângulo inscrito de vértice M determina o arco α e portanto mede α/2.
O ângulo inscrito com vértice em P determina o arco de 80°, e portanto mede 40°.
O ângulo $\,M\hat{P}K\,$ mede então 180° - 40° = 140°.
A soma dos ângulos internos no triângulo MPK é 180° e portanto:
$\;\dfrac{\;\alpha\;}{\;2\;}\;+\;140\;+\;20\;=\;180\;\Rightarrow$ $\;\dfrac{\;\alpha\;}{\;2\;}\;=\;20\;\Rightarrow$ $\;\alpha\;=\;40^o\;$

A seguir o quadro-resumo das relações entre as posições do ângulos em relação à circunferência e o arcos determinados por estes

Arcos e Ângulos
Vértice
Tipo
Figura
Relações entre as medidas
centro da
circunferência
Ângulo Central
ângulo central
$\;\hat{O}\;=\;\stackrel \frown{AB}\;$
$\;\hat{O}\;=\;\alpha\;$
em um ponto
Ângulo Inscrito
ângulo inscrito
$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}}{\;2\;}\;$
 
da circunferência
Ângulo de Segmento
ângulo de segmento
$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\;a\;}{\;2\;}\;$
Interior
Ângulo Excêntrico Interior
ângulo excêntrico interior
$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}\,+\,\stackrel \frown{MN}}{2}\;$
 
$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;a\,+\,b\;}{\;2\;}\;$
Exterior
Ângulo Excêntrico Exterior
ângulo excêntrico exterior
$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{MN}\,-\,\stackrel \frown{AB}}{2}\;$
 
$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;b\,-\,a\;}{\;2\;}\;$
Exterior
Ângulo Circunscrito
ângulo circunscrito
$\;\beta\;=\;\dfrac{\;a\,-\,b\;}{2}\;$
ou
$\;\beta\;=\;(180^o\,-\,b)\;$
40°
×
Determinar a medida do ângulo $\,x\,$ conforme a figura:
ângulo excêntrico interno

 



resposta:
O ângulo $\,\hat{x}\,$ é a média aritmética dos arcos.
$\,x\,=\,\dfrac{\,80\,+\,50\,}{2}\,=\,65^o\,$
Ângulos com vértice no interior do círculo:
Ângulo Excêntrico Interior
ângulo excêntrico interior
$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}\,+\,\stackrel \frown{MN}}{2}\;$
 
$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;a\,+\,b\;}{\;2\;}\;$

×
Veja exercÍcio sobre:
geometria plana
ângulo excêntrico exterior